小学六年级升初一数学讲义
课前的话
数学是一门很重要的基础课，如何学好数学，这是许多中学生共同关心的问题，为此，我就初中代数、平面几何的学习，结合自己多年带学生的数学经验和具体实例，对如何学、学什么的有关方法和要求与同学们一起探讨。在小学我们学了许多数学知识，如关于数量方面的整数、分数、小数它们的运算，以及图形方面的认识，如三角形、四边形、圆、梯形等等。
升入中学，开始新的学习生活，它对数学的要求要比小学有所提高。我们知道数学是由数和形两大支柱组成的，中学阶段要对这两个方面给予充分的注意。
一、明确学习数学的目的
数学应是自然科学、社会科学之外的第三大类：数学科学。
优秀学生正是在学习数学的过程中，自觉或不自觉地优化自己的思维方式，培养和提高能力，发展和完善自己的素质，就是说，把不聪明的自己变得聪明，让聪明的自己更加聪明，从而使我们成为各个领域内的佼佼者。
基于上述认识，产生了如下学好数学的具体方法。
二、深入本质，渗透思想，升华观点
学习要抓住本质，这是许多人的经验。但什么是“本质”，怎样去抓住它。在认识上，人们有很大差距。
有人认为，对定义、定理、公式，不仅要熟记它们的文字表述，还要准确无遗漏地掌握它的构成，这就是所谓的“抓住了本质”。例如，圆的定义“在平面中，到一个定点的距离等于定长的点的集合”中，有三个要素“平面”、“定点”、“定长”。
不可否认，这个认识并无错误，但它绝未达到理想的境界。一方面，这样学下去，随着新的概念、知识的不断进入，记忆上会不堪重负，因而要经常复习，否则，常常学新忘旧，因为它们在脑子中各自为政，没有浑然为一体；进一步说，这个学习过程，对一名学生在思维建设上，是没有促进作用和价值的。
那么，在学习知识上，正确的作法是什么？
从系统的角度学习知识，置知识于系统中，着眼于知识之间的联系和规律，从而深入本质，因为联系和规律就是本质。着眼于数学思想的渗透，着眼于知识之间的联系。
它的好处是，在这个融会贯通的过程，我们透过繁杂的现象，抓住了本质，同时简化了记忆。
更重要的是，我们接触了一种崭新的认识问题的思想方法：由寻找联系入手，运用规定（定义）平衡、变换等数学思想和从“特殊到一般，又从一般到特殊”的方法，把个别、离散的现象构造成浑然一体的系统，这已经标志着能力的提高和素质的发展。以这种提高和发展，去学习、去解题，将与我们的过去不可同日而语。因为解题过程的本质，就是以敏锐的观察、分析，去发现和建立已知条件和结论之间的联系。
三、学数学不需要刻苦学习
以前我们经常听老师、家长们向你们介绍古人苏秦“头悬梁、锥刺股”的故事，勉励大家像古人那样发愤学习。很多学习成绩考得高的学生也常常以这样的精神自勉、自激、要求自己，上课时，瞪大了眼睛，张开自己脑中的“口袋”，把老师讲的每句话、写出的每个字，统统装进自己的脑袋中；课后认真完成作业，按时交作业，见到做错的就有错就改；做完老师留的作业，还要自己再找题做，想达到熟能生巧。做完作业，还要主动复习，经常复习，“顽强”地和疲劳、瞌睡做“斗争”，直到把笔记或书上划出的重点啃得滚瓜烂熟。
这是不是刻苦学习呢？我认为，这种精神是可贵的，但效果未必好。因为，学习本身也是科学。在课堂听讲、做作业、复习这三个环节上，都要讲科学、有成效地刻苦学习，这应该表现为如下的努力。
1、超前思维，向老师、课本挑战。
课堂上，努力争取想在老师讲授的前面，定理、公式，争取自己推导出来；例题，争取自己先分析、解答；进而，当命题的条件老师刚写出，自己就去猜想它的结论；一个新的概念出现时，自己就试着去定义它；甚至，随着课程的进行、知识的发展，自己设想，又该提出什么命题了，又该定义什么名词了，等等。
当然，学生的超前思维，又应该和老师密切配合，不能因为自己还没想出来，就充耳不闻老师的讲解，自己另搞一套。
课堂听讲的这种方式的优点在于，例题既然是自己解出来的，定理、公式既然是自己证出来的，当然理解深刻，印象深刻，记忆就特牢，很不容易遗忘，即使忘了也不用怕，因为本来就是自己推出来的，就再推一遍。这样就省了许多临考前还要复习背诵的很多时间。
更重要的是，在这个过程中，培养了能力，在45分钟的课堂上，每当有个短短的一二分钟甚至几秒钟的间隙，都要努力去往前想，这种高强度的要求，才是真正的刻苦，这样必能很好地锻炼自己的思维。
什么是“向老师挑战”？
刚才我们谈到，课堂上的超前思维过程，常常还没来得及想出来，老师已经开始讲解了，或者，自己虽想出了结论，但与随即而来的老师的结论或方法不同。这时，你不应立即“缴械投降”，自己还要做些“挣扎”。首先要问“为什么”，甚至力图否定老师的结论或方法，这样做的结果，如果没有成功，则证明老师是对的，这时再接受老师的结论或方法。由于从反面尝试了“打不倒它”的滋味，自然对这个结论或方法就有了深刻的体会，从而实现了高质量的理解和消化老师的讲授；如果否定的努力成功了，它的意义决不在于一二个结论或方法的改进上，许多出类拔萃的学生的成功，都是在这里打下了飞跃的基础。
把新课题归结到旧知识的基础上，这是数学解决问题的基本思想。
“向老师挑战”，并不是要争什么胜利者，而是要使自己更上一层楼。
2、题不求多，要求精彩，要求“知人善用”
做习题是学好数学的必要过程，也是培养能力、发展素质的重要环节。
因为解答习题要应用数学概念、定理公式等数学知识，因此，解习题一方面有助于重温这些概念、定理公式；另一方面，也有助于检查对概念、定理公式的理解是否准确，有无遗漏或曲解，从而加深对它们的理解和掌握。
同时，解答习题的过程，是应用学过的知识，去解决以“新面孔”出现的课题的过程，它一方面将训练应用知识的能力；另一方面，习题的面孔是“陌生”的，需要观察它的特点，进行分析，作出判断，而后才能对选择哪个方向、应用哪些知识去解决它，作出决策；并且，在进入解决的途中，随时根据情况的发展，或做些调整，或修正原来的方向，这是一个复杂的思维过程，一个有效地培养能力的过程，一个可以有力地训练思维、完善素质的过程。
现实中，许多同学做了大量的题，这两方面的收获甚少，这是怎么回事呢？
这主要有两个原因：一，是否从思想上明确了刚才所述的做题的目的；二，是否在用科学的态度和方法去做题。
什么是科学的态度和方法呢？
1）题不求多，但求精彩
这有点像吃饭，吃不饱不好，但过饱，甚至饱了还要往肚里塞，不但后塞进去的食物不会被吸收，甚至还会引起肠胃功能紊乱，连开始吃进去的食物都不能消化吸收。同时，营养价值很低的食物吃很多，不如吃适量的高营养食物。
从这个意义上，对于题的选择我提出以下的建议：
①题本身应无错误；
②不要选只是对概念、定理、方法进行复述的题，这种题，对于理解知识、培养能力几乎无作用；
③题从解法上看，要充满活力，不要死气沉沉、只是繁琐地堆砌公式或冗长无味；
④同一类型的题目，解透一二个有代表性的即可，不必大量重复；
⑤不要做那些对概念无理解价值、在思考方法上远离一般规律的偏题、怪题。
题目选精彩了，接下来要特别注意的是练习的方法要对，这样才能达到预期的目的，这即是“知人善用”。
练习的方法怎样才能算对？
2）讲究做题的方法
①一题多解，多解归一，多题归一
对于“一题多解”，这个我们都知道。需要说明的是，如果只是追求多解的数量，对每个解不作深入的探讨，这样的一题多解，从收效和它所用的时间来看，很不值得。
如果不同角度的解法，在思路上拉开的距离较大，应用的知识改换较多，将加深对题目本质的理解、加深对每个解法本质的理解、加深对所用概念、定理公式及相关联系的理解，这样的一题多解才是有价值的。例如，已知a、b、c、x都是实数，并且a<b<c，试求│x-a│+│x-b│+│x-c│的最小值。
一题多解讲究解题方法的第一步，还要多解归一。
什么是“多解归一”？就是指把多种解法相互比较，进行抽象，挖掘本质，达到赏玩于股掌之上的程度。
举例：
因式分解：a3-8a+7
解法一 原式＝a3-a-7a+7=
解法二 原式＝a3-8a+8-1=
解法三 原式＝8a3-7a3-8a+7=(8a3-8a)-(7a3-7)=8a(a+1)(a-1)-7(a-1)(a2+a-1)=(a-1)(a2+a-7)
这三种解法，只想任何一种（特别这解法三）时，都会对“拆项法”产生畏惧心理，因为，为什么把7拆成-1+8，分解就能成功，似乎太偶然。
但若写出解法一和解法二两种解法后，并加以比较，我们会发现它们都有着共同的必然，那就是欲“拆”某项时，要视另外两项的系数而定，使拆后和另外两项配组后，组与组之间，有公因式可提，恰如俗话所说“言左右而顾它”。这就是“多解归一”的那个“一”。
有了这个“归一”，把a3拆成了-7a3+8a3，才会产生解法三。
甚至，运用照顾另两项的思想，可不可以添上所缺的a2项呢？这就产生了解法四。
解法四 原式＝a3-a2+a2-8a+7=a2(a-1)+(a-1)(a-7)=
至此，对于这种可分解的三次缺项式的因式分解，我们谁都可以“翻手为云，覆手为雨”，手到擒拿。这就是“多解归一”。
接下来就是“多题归一”。
什么是“多题归一”？
我想这有两层含义：第一层含义是，举一反三，善于发现，有所前进。比如，求│x-a│+│x-b│+│x-c│的最小值，从已知a<b<c，我们很自然会分析a<b<c<d时的情况，从而可以解决a<b<c<d…任意个数的一切情况，就是这层意义上的“多题归一”。
第二层含义是，举二反三，有所发现，有所前进。这“举二”的二，是指从几道题目的分析中，抽象出解题的共同规律和方法。如，到初中几何。这是第一种情况。
第二种情况是，总结抽象出的不是具体的思考规律，而是普适的思想方法。这种“举二反三”，却是常常为我们所忽视，尽管它的意义会更重大。
例如，大家熟知的高斯幼年时，1+2+…+99+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5050的方法，迅速完成了老师为了难学生而设计的题目。
但很少有人推敲，小高斯的聪明，源自何处？其实，小高斯不过是运用“动的思想”，换了角度来看问题。
小高斯站在对准50和51间缝隙的位置上，观察问题。画图。
两相对比，当有启发：灵活性的本质，是换个角度看问题的思考习惯。如，求│x-a│+│x-b│+│x-c│的最小值，正是要从站在题目呈现的“代数面孔”的角度，大交叉地换位到几何的角度去思考的结果。
有时，特别在解一些难度较大的题目时，甚至要求在解题过程中，审时度势，随时换个角度看问题。
但是，最高层次的“多题归一”的“归一”，绝不仅限于“换个角度看问题”。
②对待失误，善于反思，吃一堑，长一智
修正错误，也是讲究做题方法的一个内容。因为做错了题，是纠正自己对概念的片面理解或不正确思想方法的良机。如果只是重做一遍，而不去分析发生错误的第一层原因，第二层原因……那么，即使这次做对了，再做类似的题还会出错。更重要的是，认识上得不到提高。
正确的态度和做法是，回忆当时做题的思考过程，找出产生错误的概念理解上的原因是什么？在知识掌握上的原因是什么？在思想方法上的原因是什么？找出避免这种失误的切实可行的办法，就是“吃一堑，长一智”。
而且，找出的失误原因，应当是深一层的（即本质上）原因，从而避免今后失误，这样才能真正起到“吃一堑，长一智”的作用。
3、在“有所总结，有所发现，有所创造，有所前进”中，融会贯通
前面讲了关于讲究做题方法，谈到要总结规律和方法，这是学习中进行总结的第一个层次。
第二个层次的总结是小结，是把一个单元的内容进行条理、归纳，分出概念、定理公式、基础知识、方法几个类别；找出每个类别里主次排列、相互间的联系及本单元有关题目的解题思考方法。
第三个层次的总结是全书复习。是在各部分小结的基础上，在已经寻找联系和规律的基础上，进行概括，进行贯通，把全书（知识）归纳在一个或几个系统内，统率在一个或几个想法之下，达到对全书了若指掌的程度，同时把自己驾驭知识的水平又提高一步。
可见，学数学不需要“刻苦”学习。
大家都知道，学游泳，要在游泳中学会游泳，根据这个道理，我们在读例题时，要先自己想，即使想错碰壁，也不要一上来就看书上例题的解答。两想对比，才好纠正自己的偏颇。由于学习思考是第一位的，所以，大家特别要重视读每道题例题解法前的分析（这是思考方法，得到正确解法的想法酝酿过程，即怎么想的）和每道例题后的说明（思考规律、解题思考方法）。

代数初步知识
一、接受和理解用字母表示数
这是本讲学习是否达到目的的重要标志。
所谓“接受”，可举个例子，过去在小学，说两个数的和，例如8与5的和，一定是要变成“13”，才算计算过程完成；但现在，说两个数a与b的和，那么，要习惯a+b或b+a就是最后结果。
所谓“理解”，是要明白它们的不同。举个例子，5+3=3+5，只表示数“5”与“3”交换位置后，和不变；但a+b=b+a，则表示任意两个数相加，变换位置后，“和”不变。从而，“用字母表示数”的优点之一——具有广泛性。
1、用字母表示数能够简明深刻地反映事物的规律及其本质特征，具有简捷、普遍的优越性。
例如，我们可以用字母表示乘法的分配律
a(b+c)=ab+ac
a,b,c可以表示任意数的有理数。
2、用字母表示具有辩证性，它既具有确定性，又具有任意性。
如当，a=5 时，这时字母a的值是确定的。
又如，a-9,它表示比a小9的任意有理数，这里的a可以表示任意有理数，因此它具体有任意性。
在一些概念的界限上，现在有必要区分清楚，请看下面的例题。
二、例题
例1 读一读下面两个代数式：(a+b)2；a2+b2。
解 (a+b)2 读做“a与b”的和的平方；
a2+b2读做“a、b平方的和”。
说明 (a+b)2 也可以读做“a、b和的平方”，但是，a2+b2 不能读做“a与b的平方的和”，因为，人们可以将这种读法理解为a+b2。
如果一定要在a、b间用上连接词，而不愿意用“、”号，那么，a2+b2 可以读做“a与b两数平方的和”。
例2 12 (a+b)h和S= 12 (a+b)h中，哪个是代数式，哪个不是代数式？
解 12 (a+b)h是代数式，S= 12 (a+b)h不是代数式。
说明 1）代数式中不能有等号（当然也不能有“>”、“<”号），这样，才能把字母代表的数值代入后，计算出代数式的值。
2)公式和方程中都有等号（有的公式还可以是“>”或“<”或“≤”或“≥”号）。至于公式和方程的区别，有机会进行深入讨论为宜。

下面我就用字母表示数的思想方法来研究例题。
例1：已知a是一个整数，试用a表示三个连续整数的和，并说明3个连续的和有什么特征。
我们知道，相邻的两个整数之差等于1
因此如果我们设较小的整数为a,那么与它连续的整数为分别是
a+1,a+2
如果我们设中间的那个整数为a,那么这三个连续的整数分别为
a-1,a,a+1
解：设这三个连续整数分别为a-1,a,a+1
那么它们的和可以表示为
(a-1)+a+(a+1)=3a
∴当a表示三个连续整数中的中间那个数时，它们的和为3a。它是3的倍数。就是说，这可以被3整除。
反思，这有两个限制条件，第一，a是整数，第二，a是表示三个整数中间的那个数。
同学们想一想，如果a不表示三个连续整数，而是它表示第一个数，或者它表示最后的那个数，它们的结果又有什么变化呢？是不是字母表示数，为我们解决了许多。下面再看一个例题。
例2 一个两位数，把个位上的数与十位上的数对调得到一个新的两位数，请大家判断新的两位数与原来的两位数的差有什么特点，并说明道理。
分析：可以从具体到抽象来分析，我可以先任意写一个两位数，如58，调换以后，得到新的两位数85，那么85-58=27
27可以被9整除，27÷9=3
如再举一个例子，如41，调换以后，得到新的两位数14，那么14-41=-27
-27可以被9整除，-27÷9=-3
这样我们可以猜想到：一个两位数把个位上的数与十位上的数对调得到的一个新的两位数，它们的差是可以被9整除的。
那么，怎么样来证明这个结论呢？
这就要从具体的运算中来思考。怎样来表示一个两位数？我们还是从具体来总结。
比如说，79=7×10+9 又 41=4×10+1
如果 a是十位上的数，b是个位上的数时，
这时可表示为 10a+b
因此可以
解：设原来的两位数十位上的数是a，个位上的数为b，那么原来的两位数是10a+b，数字对调后得到的新的两位数是10b+a，其中a、b是1—9中的任意整数。
根据题意，我们可以得到
新的两位数-原来的两位数=(10b+a)-(10a+b)=9b-9a=9(b-a)
想一想，一个抽象的问题，通过具体的分析，得到用字母表示数的方法，使我们的解答变得简捷。
通过上面的例题，我们得到了这样解决问题的方法：遇到抽象的不好思考的问题时，通过具体的问题去分析，在概括和比较中去得到问题的解答。
一个小游戏
例3 对于任意一个自然数，先将其各位数字求和，再将其和乘以3然后加上1，多次重复这种操作运算，运算的结果最终会得到一个固定不变的数a，它会掉入一个数字“陷阱”，永远也逃不出来。请大家想一想最终掉入“陷阱”的这个固定不变的数a是几？
这是一个很抽象的问题，我们可以通过做一个实验来得到。
分析：18 —→ 1+8=9 9*3+1=22 2+2=4 4*3+1=13 1+3=4 4*3+1=13
解：这个固定不变的数a是13。

有理数
一、重视概念，打下中学数学学习的良好基础
一般来说，学好有理数，为今后准确而迅速地计算打下基础，但更重要的是，学习有理数有助于我们迅速完成从小学学习方式向中学学习方式的过渡。
小学数学主要是“算”，这既是由学习内容，也是受年龄制约而决定。今后我们学习数学、物理等，从某种意义上说，是概念和关系的体系，理解概念和关系是第一位的。这当然表明，重视概念的学习，并不是指一字不差地将其背得滚瓜烂熟，而是要深入→发现→再深入→再发现，从而达到深刻理解，并能娴熟应用。
有理数有两个特别重要的概念：数轴，绝对值。
二、把数轴作为思维的工具
数轴是表示数的工具。以后我们还将学到，数轴上的点还将与实数建立一一对应的关系。
我认为，数轴的价值，更在于它是思维工具。
在这里，特别要强调的是，以0、1、-1为分界点，对“数”进行分情况的思考。
例如，-a一定是负数吗？
解：从数轴上考虑，当a代表正数时，-a是负数；当a代表零时，-a是零；当a代表负数时，-a是正数。所以，-a不一定是负数。
（整个过程的实质是以“0”为分界点。）
又如，比较a2和a的大小。
解：从数轴上考虑，
三、深入理解绝对值的概念

四、培养严谨

五、准而快的运算能力

例题

练习

简介整式的运算
一、加减法重视合并同类项法则

二、去、添括号的重要

三、整式乘除法与小学数学乘除法

例题

练习


一元一次方程
一、要深入理解概念
1、什么是方程
2、方程同解原理和解方程过程的实质
3、解方程过程的本质
二、准确、熟练掌握解方程的技能
三、重视列出一元一次方程解应用问题

例题

练习

线段、角
一、如何学习和掌握几何概念
二、注意培养看图、画图、叙述表达能力

例题

练习

相交线、平行线
一、加深认识和理解，领会新的思想和方法

二、准确理解推理论证的本质，写好证明的叙述

三、做习题时，注意总结有关图形性质的常用规律

例题

练习







请各位老师筛选以上讲课内容。
<未写完，正在抽时间写>2008-6-25

这是孙维刚老师的思想

看不懂